Cholesky分解の概要

Cholesky分解（コレスキー分解）は、対称正定値行列を対象とする行列分解手法の一つです。具体的には、与えられた正定値対称行列 $A$ を、次の形に分解します：

$$A = LL^{T}$$

ここで、

• $L$ は下三角行列（対角成分は正）

• $L^{T}$ はその転置行列
  を表します。これにより、行列の構造を利用して効率的な計算が可能になります。

---

正定値対称行列の条件

Cholesky分解を行うためには、行列 $A$ が 正定値対称行列である必要があります。

• 対称性: $A = A^{T}$

• 正定値性: 任意の非零ベクトル $x$ に対して

  $$x^{T} A x > 0$$

---

Cholesky分解の計算方法

行列 $A$ が $n \times n$ の場合、Cholesky分解は次の漸化的な方法で行います。

1. $L$ の要素を求める。

   • 対角成分：

     $$L_{ii} = \sqrt{ A_{ii} – \sum_{k=1}^{i-1} L_{ik}^{2} }$$

   • 非対角成分（下三角部分）：

     $$L_{ij} = \frac{1}{L_{jj}} \left( A_{ij} – \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} L_{jk} \right) \quad (i > j)$$

2. 上三角部分はゼロであるため、計算の対象は下三角成分のみ。

---

利点

1. 計算効率の高さ
   LU分解に比べて半分程度の計算量で済みます（対称性を利用するため）。

2. 数値的安定性
   正定値対称行列に限定することで、安定した分解が可能。

3. 応用範囲の広さ

   • 連立一次方程式 $Ax = b$ の高速解法

   • ガウス過程やベイズ統計における共分散行列の処理

   • 数値最適化（Newton法や準Newton法の計算）

---

具体例

例えば、次の $3 \times 3$ の正定値対称行列を考えます。

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 12 & -16 \\ 12 & 37 & -43 \\ -16 & -43 & 98 \end{bmatrix}$$

これをCholesky分解すると、

$$L = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 6 & 1 & 0 \\ -8 & 5 & 3 \end{bmatrix}$$

となり、確かに $A = LL^{T}$ が成り立ちます。

---

まとめ

• Cholesky分解は 正定値対称行列専用の行列分解法。

• 行列 $A$ を下三角行列 $L$ とその転置 $L^T$ に分解する。

• LU分解より計算効率が高く、数値的にも安定。

• 統計学・機械学習・数値最適化など広範囲で利用される。