QR分解とは何か

QR分解（QR decomposition, またはQR factorization）とは、任意の実（あるいは複素）行列を直交行列（またはユニタリ行列）と上三角行列の積に分解する方法です。
具体的には、$m \times n$ 行列 $A$（$m \geq n$）に対して、

$$A = QR$$

と表されます。ここで、

• $Q$ は $m \times n$ の直交行列（列ベクトルが正規直交基底をなす）

• $R$ は $n \times n$ の上三角行列

となります。

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QR分解の意味と役割

QR分解は、行列を「直交部分」と「スケーリング部分」に分ける操作です。
特に次のような用途で重要です：

1. 線形方程式の数値解法
   連立一次方程式 $Ax = b$ を解くとき、QR分解を用いると数値的に安定な解法を得やすい。

2. 最小二乗法
   過剰決定系（方程式の数が未知数より多い場合）の近似解を求める際にQR分解が利用される。

3. 固有値計算
   QRアルゴリズムの基盤として、行列の固有値を計算する手法に利用される。

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QR分解の求め方

QR分解を求める代表的な方法は以下の3つです。

1. グラム・シュミットの正規直交化法

• 行列 $A$ の列ベクトルを正規直交化して $Q$ を構成し、
  その過程で得られる係数から $R$ を作る。

• 計算手順は直感的だが、数値的に誤差が蓄積しやすい。

2. 修正グラム・シュミット法

• 上記の改良版で、数値安定性を改善した方法。

• 実際の数値計算ではこちらがよく用いられる。

3. ハウスホルダー変換（Householder変換）

• 行列を「鏡映変換」で次々と簡単な形に変換し、直交行列 $Q$ を構築する。

• 数値計算において最も安定的で効率が良い方法とされる。

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小さな例

行列

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

を考えると、QR分解は次のように表せます。

$$Q = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}, \quad R = \begin{bmatrix} \sqrt{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{\sqrt{6}}{2} \end{bmatrix}$$

これにより $A = QR$ が成り立ちます。

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まとめ

• QR分解は「行列 = 直交行列 × 上三角行列」に分ける操作。

• 用途は、最小二乗法、線形方程式の安定解法、固有値計算など。

• 計算方法は、グラム・シュミット、修正版、ハウスホルダー変換などがある。