対角化の条件と手順

「対角化の条件と手順」について整理して説明します。

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1. 対角化とは何か

線形代数において、ある正方行列 $A$ を 対角行列 $D$ に変換できる場合を「対角化可能」といいます。具体的には、逆行列をもつ行列 $P$ を用いて次のように表せるときです。

$$A = P D P^{-1}$$

ここで $D$ は対角行列で、その対角成分には $A$ の固有値が並びます。また、$P$ の列ベクトルは $A$ の固有ベクトルで構成されます。

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2. 対角化の条件

行列 $A$ が対角化可能であるための条件は次の通りです。

1. 固有ベクトルが基底をなすこと

   • $n \times n$ 行列に対して、線形独立な固有ベクトルが $n$ 個存在すれば、その行列は対角化可能です。

2. 固有値と代数的重複度・幾何的重複度

   • 代数的重複度: 特性方程式の根（固有値）の重複度。

   • 幾何的重複度: 固有空間の次元（その固有値に対応する独立な固有ベクトルの数）。

   • すべての固有値について、幾何的重複度 = 代数的重複度 であれば対角化可能です。
     逆に、この条件を満たさない場合は対角化できません。

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3. 対角化の手順

実際に対角化を行う際のステップは次のようになります。

1. 特性方程式を解く

   $$\det(A – \lambda I) = 0$$

   を解いて、固有値 $\lambda$ を求めます。

2. 固有ベクトルを求める
   各固有値に対して、連立方程式

   $$(A – \lambda I)\mathbf{v} = 0$$

   を解き、固有ベクトルを求めます。

3. 固有ベクトルの独立性を確認する
   固有ベクトルが $n$ 個の線形独立な集合を形成できるかを調べます。

4. 行列 $P$ と $D$ を構成する

   • 行列 $P$: 列ベクトルとして固有ベクトルを並べたもの。

   • 行列 $D$: 対角成分に対応する固有値を配置したもの。

   よって、

   $$A = P D P^{-1}$$

   という分解が得られます。

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4. 具体例

行列

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

について対角化を考えます。

1. 特性方程式
   $\det(A – \lambda I) = (4-\lambda)(2-\lambda)$
   → 固有値: $\lambda_1 = 4, \lambda_2 = 2$

2. 固有ベクトル

   • $\lambda = 4$: 解は $\mathbf{v}_1 = (1, 0)^T$

   • $\lambda = 2$: 解は $\mathbf{v}_2 = (-1, 2)^T$

3. 行列 $P$ と $D$

   $$P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

   よって

   $$A = P D P^{-1}$$

   が成立。

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まとめ

• 対角化の条件: 固有ベクトルが行列全体の基底を形成できること。幾何的重複度 = 代数的重複度。

• 手順: (1)固有値計算 → (2)固有ベクトル計算 → (3)独立性確認 → (4) $P, D$ 構成。

• 対角化が可能になると、計算の簡略化（累乗計算、指数計算、微分方程式の解法など）に大きく役立ちます。