線形変換の合成と逆変換

「線形代数」の「中級編」における「線形写像」のテーマ「線形変換の合成と逆変換」について、以下のように整理して説明します。

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1. 線形変換の合成

線形変換（線形写像）とは、あるベクトル空間から別のベクトル空間への「線形性を保つ写像」のことです。
例えば、ベクトル空間 $V, W, U$ があり、

• $T_1: V \to W$

• $T_2: W \to U$

が線形変換であるとき、両者を「合成」した写像

$$T = T_2 \circ T_1 : V \to U, \quad T(v) = T_2(T_1(v))$$

もまた線形変換になります。

行列表示

基底を選んで線形変換を行列で表すと、合成は「行列の積」に対応します。

• $T_1$ の行列を $A$、

• $T_2$ の行列を $B$ とすると、
  合成変換 $T = T_2 \circ T_1$ は行列 $BA$ で表されます。

重要点: 順序は直感と逆になる場合があります。$T_1$ を先に適用し、その結果に $T_2$ を適用するので、行列積では 右から左 にかけていきます。

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2. 線形変換の逆変換

線形変換 $T: V \to V$ が「逆変換」を持つとは、

• $T$ が全単射（1対1かつ全ての元に対応する）である場合です。
  このとき、逆変換 $T^{-1}: V \to V$ が存在し、

$$T^{-1}(T(v)) = v, \quad T(T^{-1}(v)) = v$$

が成り立ちます。

行列での逆変換

基底を選んで $T$ を行列 $A$ で表したとき、

• $A$ が 正則行列（逆行列を持つ行列） であるなら、

• $T^{-1}$ は行列 $A^{-1}$ によって表されます。

すなわち、

$$T^{-1}(v) = A^{-1}v$$

となります。

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3. 性質

1. 合成の線形性
   線形変換の合成も線形変換になる。

2. 逆変換の一意性
   逆変換は存在すれば一意に定まる。

3. 合成と逆の関係
   線形変換 $T_1, T_2$ が可逆であれば、

   $$(T_2 \circ T_1)^{-1} = T_1^{-1} \circ T_2^{-1}$$

   が成り立つ。
   行列においても $(BA)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ です。

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4. 具体例

例えば、平面 $\mathbb{R}^2$ 上で

• $T_1$: x軸方向に2倍に拡大

• $T_2$: 原点を中心に90度回転

を考えると、

• $T_1$ の行列は $\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$、

• $T_2$ の行列は $\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$。

合成 $T_2 \circ T_1$ は、行列積

$$\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}$$

で表されます。

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まとめ

• 線形変換の合成は「行列の積」に対応し、順序に注意が必要。

• 逆変換は写像が全単射のときに存在し、行列では逆行列に対応。

• 性質として $(T_2 \circ T_1)^{-1} = T_1^{-1} \circ T_2^{-1}$ が重要。