線形変換の定義と行列表示

「線形代数」の「中級編」における「線形写像」の「線形変換の定義と行列表示」について、詳しく説明します。

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1. 線形変換の定義

線形変換（linear transformation）とは、あるベクトル空間から別のベクトル空間への写像で、加法とスカラー倍を保つ写像のことです。
形式的には、ベクトル空間 $V$ から $W$ への写像 $T: V \to W$ が次を満たすとき、線形変換といいます。

1. 加法の保存

   $$T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$$

   （任意の $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ に対して）

2. スカラー倍の保存

   $$T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u})$$

   （任意のスカラー $c$ と $\mathbf{u} \in V$ に対して）

これにより、線形変換はベクトル空間の「構造」を壊さずに写す写像であるといえます。

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2. 線形変換と基底

線形変換を具体的に扱うためには、ベクトル空間に基底をとります。基底を決めることで、任意のベクトルを座標ベクトルとして表現できます。
基底 $\{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n \}$ を持つ空間 $V$ において、線形変換 $T$ の作用を基底に適用したときの結果を調べると、それらは別の空間 $W$ の基底ベクトルの線形結合で表せます。

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3. 行列表示の構成

線形変換 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ があるとき、その行列表示を次のように作ります。

1. $T$ を各基底ベクトルに適用する

   $$T(\mathbf{e}_1), \; T(\mathbf{e}_2), \; \dots, \; T(\mathbf{e}_n)$$

2. それぞれを $\mathbb{R}^m$ の基底に展開する。例えば

   $$T(\mathbf{e}_j) = a_{1j}\mathbf{f}_1 + a_{2j}\mathbf{f}_2 + \dots + a_{mj}\mathbf{f}_m$$

3. 係数を縦に並べると列ベクトルができ、これを j 列目に置いたものが行列となる：

   $$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$$

この行列 $A$ を「線形変換 $T$ の行列表示」といいます。

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4. 行列表示の意味

この行列表示により、任意のベクトル $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ に対して、線形変換は単なる行列積で表されます。

$$T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x}$$

つまり、線形変換は「抽象的な写像」ですが、基底を選ぶことで「行列による計算」に落とし込むことができます。

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5. 具体例

例えば、2次元平面 $\mathbb{R}^2$ の「90度回転」を考えます。

線形変換 $T(x, y) = (-y, x)$ を基底ベクトルに適用すると、

• $T(1, 0) = (0, 1)$

• $T(0, 1) = (-1, 0)$

これを行列にすると、

$$A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

となります。このように、線形変換を「行列」として扱うことで、計算や解析が容易になります。