クラメルの公式

クラメルの公式について詳しく説明します。これは線形代数における 連立一次方程式の解法 の一つで、特に「係数行列が正則（逆行列を持つ）」である場合に利用できる強力な方法です。

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1. 基本的な考え方

クラメルの公式は、行列式（determinant） を使って連立一次方程式の解を表現する方法です。
次のような n 元連立一次方程式を考えます。

$$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$$

ここで、

• $A$ は $n \times n$ の係数行列

• $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T$ は未知数ベクトル

• $\mathbf{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)^T$ は定数ベクトル

とします。

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2. クラメルの公式

係数行列 $A$ の行列式を $\det(A)$ とし、これが 0 でない 場合、すべての解は次の式で求められます。

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \quad (i = 1, 2, \dots, n)$$

ここで、

• $A_i$ は、係数行列 $A$ の 第 $i$ 列 を定数ベクトル $\mathbf{b}$ に置き換えた行列。

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3. 例（2元連立方程式の場合）

次の連立方程式を考えます。

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{cases}$$

係数行列は

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$$

行列式：

$$\det(A) = a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21}$$

解は：

$$x_1 = \frac{ \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix} }{\det(A)} \quad ,\quad x_2 = \frac{ \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix} }{\det(A)}$$

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4. 特徴と制約

• メリット: 計算式が明示的で美しく、理論的な議論に便利。

• デメリット: 実際に大規模な連立方程式を解くには効率が悪い（行列式計算が計算量的に重い）。

• 適用条件: $\det(A) \neq 0$ のときのみ使える。

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5. 応用例

• 数学的証明や理論で「解の存在と一意性」を示すときに使われる。

• 小規模な問題（2元、3元の連立方程式）の手計算に有効。