ガウスの消去法（Gaussian Elimination）

1. ガウスの消去法とは

ガウスの消去法は、連立一次方程式を体系的に解く方法であり、行列を用いた線形代数の基本的な計算手法のひとつです。
行列を「行基本変形（elementary row operations）」によって簡単な形に変形し、最終的に解を求めやすい形にします。

目的は、係数行列を**階段行列（row echelon form）あるいは既約階段行列（reduced row echelon form）**に変形することです。

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2. 行基本変形

ガウスの消去法では、次の3つの操作を自由に行えます。

1. 行の入れ替え（Row swapping）
   例: 第1行と第2行を入れ替える

2. 行の定数倍（Row scaling）
   例: 第2行を2倍にする

3. 行の加減算（Row addition/subtraction）
   例: 第3行から第1行を2倍したものを引く

これらは連立方程式の解を変えない操作です。

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3. 手順

ガウスの消去法は以下の流れで行います。

1. 係数行列を拡大係数行列にまとめる
   連立一次方程式を「係数行列」と「定数ベクトル」を組み合わせた拡大係数行列で表す。

   例：

   $$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 10 \\ x + 2y + 3z = 13 \end{cases}$$

   → 拡大係数行列

   $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 10 \\ 1 & 2 & 3 & 13 \end{array} \right)$$

2. 前進消去（Forward Elimination）
   左上から順に「主元（pivot）」を立て、下の行の同じ列をゼロにする。

   例では第1列の1を主元にして、2行目・3行目の最初の成分をゼロにする。

3. 後退代入（Back Substitution）
   階段行列の形にしたら、後ろから順に解を求める。

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4. 計算例

上の連立方程式を実際に解いてみます。

拡大係数行列：

$$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 10 \\ 1 & 2 & 3 & 13 \end{array} \right)$$

• 第1行を基準にして2行目から2倍の第1行を引く：

$$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & 3 & 13 \end{array} \right)$$

• 第3行から第1行を引く：

$$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 7 \end{array} \right)$$

• 第3行から第2行を引く：

$$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 3 & 9 \end{array} \right)$$

ここで階段行列が得られたので、後退代入を行います。

• 第3行から： $3z = 9 \implies z = 3$

• 第2行から： $y – z = -2 \implies y = 1$

• 第1行から： $x + y + z = 6 \implies x = 2$

解：$(x, y, z) = (2, 1, 3)$

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5. まとめ

• ガウスの消去法は、行列の基本変形で「階段行列」に変形し、連立一次方程式を体系的に解く方法。

• 3つの操作（行の入れ替え、行の定数倍、行の加減算）を用いる。

• 「前進消去」で下三角部分をゼロにし、「後退代入」で解を求める。

• 手計算にもコンピュータの数値計算にも用いられる基本手法。