連立一次方程式の表現（行列形式）

連立一次方程式と行列形式による表現

1. 連立一次方程式の一般形

連立一次方程式とは、複数の一次方程式（変数の次数が1の方程式）を同時に解く問題です。
例えば、2変数の場合は次のように表されます。

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{cases}$$

ここで

• $a_{ij}$ は係数（実数や複素数の場合もある）

• $x_1, x_2$ は未知数

• $b_1, b_2$ は定数項

となります。

2. 行列形式への変換

上の連立方程式を行列を使って表すと次のようにまとめられます。

$$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$$

ここで、各要素は次のように定義されます。

• 係数行列

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$$

• 未知数ベクトル

$$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$

• 定数ベクトル

$$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$$

これにより、連立方程式のシステム全体が1つの式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ で表せるようになります。

3. 一般の $n$ 元連立一次方程式

変数が $n$ 個ある場合、次のようになります。

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \quad \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$

行列形式では、

$$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$$

と表され、

• $A$ は $m \times n$ の係数行列

• $\mathbf{x}$ は $n \times 1$ の未知数ベクトル

• $\mathbf{b}$ は $m \times 1$ の定数ベクトル

となります。

4. 行列形式で表す利点

1. 簡潔な表記：複数の方程式をまとめて1つの式にできる。

2. 計算の統一化：逆行列・行列演算・行列分解を用いて解法を整理できる。

3. 一般化可能：変数が多くても表現方法が変わらない。

4. 理論と応用：線形代数の理論をそのまま適用でき、数値解析・物理・工学・機械学習などに直結する。