行列の定義・種類（零行列、単位行列、対角行列など）

「数学」の「線形代数」における「基礎編（初歩）」の「行列の基本」の「行列の定義・種類」について詳しく説明します。

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1. 行列の定義

**行列（matrix）**とは、数や記号を長方形状に並べた表のことです。
行列は、縦の並びを「列（column）」、横の並びを「行（row）」と呼びます。
例えば、次のような 2 行 3 列の行列があります：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

この行列は 2×3 行列（2 行 3 列）と呼ばれます。

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2. 行列の種類

行列には用途や特徴によってさまざまな種類があります。その中でも「零行列」「単位行列」「対角行列」は基礎として重要です。

(1) 零行列（zero matrix）

すべての要素が 0 の行列を 零行列といいます。

$$O = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

任意のサイズ（m×n）で定義でき、加法やスカラー倍において「0 の役割」を果たします。

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(2) 単位行列（identity matrix）

正方行列で、主対角線（左上から右下）上の要素がすべて 1、それ以外は 0 の行列を 単位行列といいます。

$$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

単位行列は「掛け算の 1 の役割」を持ちます。
つまり、任意の行列 $A$ に対して、

$$AI = IA = A$$

が成り立ちます。

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(3) 対角行列（diagonal matrix）

正方行列で、主対角線上の成分以外はすべて 0 である行列を 対角行列といいます。

$$D = \begin{bmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{bmatrix}$$

ここで、$d_1, d_2, d_3$ は任意の数です。
零行列や単位行列も、対角行列の特別な場合として含まれます。

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3. まとめ

• 行列は数を縦横に並べた表。サイズは「行×列」で表す。

• 零行列はすべての成分が 0。

• 単位行列は掛け算における「1」の役割を果たす。

• 対角行列は対角線上以外が 0 の行列で、計算を簡単にできる場合が多い。

これらは線形代数の基礎であり、行列の演算や線形変換を理解するうえで欠かせない概念です。