ベクトルの加法・スカラー倍

「ベクトルの加法・スカラー倍」— 定義・計算法・性質まとめ

1) 前提：何を“ベクトル”と呼ぶか

ベクトルは「大きさ」と「向き」をもつ量です。位置そのものではなく、点から点への“ずれ（変位）”として扱います。以下では主に実数成分のベクトル（Rn\mathbb{R}^n）を前提にします。

2) ベクトルの加法（和）

定義（作図・直感）

  • 頭合わせ法（head-to-tail）：u\mathbf{u} の矢印の終点に v\mathbf{v} の始点を重ねると、その始点から終点へ伸びる矢印が u+v\mathbf{u}+\mathbf{v}。

  • 平行四辺形の法則：u\mathbf{u} と v\mathbf{v} を隣辺とする平行四辺形の対角線が u+v\mathbf{u}+\mathbf{v}。

成分表示（計算）

u=(u1,u2,…,un), v=(v1,v2,…,vn)⇒u+v=(u1+v1, u2+v2, …, un+vn).\mathbf{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n),\ \mathbf{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n) \quad\Rightarrow\quad \mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_1+v_1,\ u_2+v_2,\ \dots,\ u_n+v_n).

例

(2,−1)+(3,4)=(5,3),(1,0,2)+(−2,5,1)=(−1,5,3).(2,-1)+(3,4)=(5,3),\qquad (1,0,2)+(-2,5,1)=(-1,5,3).

重要な性質

  • 交換法則：u+v=v+u\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}

  • 結合法則：(u+v)+w=u+(v+w)(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})

  • 零ベクトルの存在：0\mathbf{0} があって u+0=u\mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{u}

  • 逆元の存在：−u-\mathbf{u} があって u+(−u)=0\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=\mathbf{0}

  • 差の定義：u−v=u+(−1)v\mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{u}+(-1)\mathbf{v}

3) スカラー倍（実数倍）

定義と直感

スカラー a∈Ra\in\mathbb{R} とベクトル v\mathbf{v} に対し、ava\mathbf{v} は

  • 大きさが ∣a∣|a| 倍、

  • 方向は a>0a>0 なら同じ、a<0a<0 なら反対、

  • a=0a=0 なら零ベクトル
    になるベクトル。

成分表示（計算）

a (v1,v2,…,vn)=(av1, av2, …, avn).a\,(v_1,v_2,\dots,v_n)=(av_1,\ av_2,\ \dots,\ av_n).

例

2 (2,−1)=(4,−2),−0.5 (3,4)=(−1.5,−2).2\,(2,-1)=(4,-2),\qquad -0.5\,(3,4)=(-1.5,-2).

重要な性質（分配・結合）

  • ベクトル和に分配：a(u+v)=au+ava(\mathbf{u}+\mathbf{v})=a\mathbf{u}+a\mathbf{v}

  • スカラー和に分配：(a+b)v=av+bv(a+b)\mathbf{v}=a\mathbf{v}+b\mathbf{v}

  • スカラーの結合：a(bv)=(ab)va(b\mathbf{v})=(ab)\mathbf{v}

  • 単位元：1⋅v=v1\cdot\mathbf{v}=\mathbf{v}

  • 派生公式：0⋅v=00\cdot\mathbf{v}=\mathbf{0}, a⋅0=0a\cdot\mathbf{0}=\mathbf{0}, (−1)v=−v(-1)\mathbf{v}=-\mathbf{v}

長さとの関係（任意のノルムでなく、ユークリッド長さの場合）

∥av∥=∣a∣ ∥v∥.\|a\mathbf{v}\|=|a|\,\|\mathbf{v}\|.

4) 加法とスカラー倍の“組み合わせ”＝線形結合

線形結合

au+bv(a,b∈R)a\mathbf{u}+b\mathbf{v}\quad(a,b\in\mathbb{R})

の形を線形結合と呼びます。幾何的には、原点を通る直線・平面・高次元超平面を表現する基本単位です。

  • 原点を通る直線：{tv∣t∈R}\{t\mathbf{v}\mid t\in\mathbb{R}\}

  • 原点を通る平面（R3\mathbb{R}^3 で u,v\mathbf{u},\mathbf{v} が一次独立）：
    {au+bv∣a,b∈R}\{a\mathbf{u}+b\mathbf{v}\mid a,b\in\mathbb{R}\}

アフィン結合と凸結合（応用感覚）

  • アフィン結合：係数の和が 1 の結合（例：su+(1−s)vs\mathbf{u}+(1-s)\mathbf{v}）

  • 凸結合：さらに 0≤s≤10\le s\le1。線分上の点を表します。

5) 幾何的な見方の補足

  • u+v\mathbf{u}+\mathbf{v} は「連続した変位の合成」。

  • u−v\mathbf{u}-\mathbf{v} は「u\mathbf{u} と v\mathbf{v} の差分の変位」。

  • スカラー倍は「拡大・縮小と向きの反転」。

  • 平行四辺形・三角形の作図ルールを覚えると、図形問題でのベクトル計算が直感化できます。

6) 次元整合・単位の注意

  • 次元（成分の個数）が一致していないベクトルは加減できません。

  • 物理量として用いる場合は単位の整合も重要（例：m/s\mathrm{m/s} と m\mathrm{m} は加算不可）。

7) 練習例（計算と性質の確認）

  1. u=(1,2,−1), v=(2,−3,4)\mathbf{u}=(1,2,-1),\ \mathbf{v}=(2,-3,4) とする。

    • u+v=(3,−1,3)\mathbf{u}+\mathbf{v}=(3,-1,3)

    • 2u−v=2(1,2,−1)−(2,−3,4)=(2,4,−2)−(2,−3,4)=(0,7,−6)2\mathbf{u}-\mathbf{v}=2(1,2,-1)-(2,-3,4)=(2,4,-2)-(2,-3,4)=(0,7,-6)

  2. a=(3,0), b=(−1,2)\mathbf{a}=(3,0),\ \mathbf{b}=(-1,2) と s∈Rs\in\mathbb{R} について、

    • (1−s)a+sb=(3−4s, 2s)(1-s)\mathbf{a}+s\mathbf{b}=(3-4s,\ 2s)

    • 0≤s≤10\le s\le1 なら a\mathbf{a} と b\mathbf{b} を結ぶ線分上の点。

8) 要点の暗記リスト

  • 加法：成分ごとに足す。平行四辺形・頭合わせで図示。

  • スカラー倍：大きさは ∣a∣|a| 倍、向きは符号で決まる。

  • 分配・結合・単位元・逆元：上の性質は必修。

  • 線形結合：空間・直線・平面の表現の基本形。

  • 差：u−v=u+(−1)v\mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{u}+(-1)\mathbf{v}。

  • 長さ：∥av∥=∣a∣ ∥v∥\|a\mathbf{v}\|=|a|\,\|\mathbf{v}\|（ユークリッド長さ）。

この二つの操作（加法とスカラー倍）が満たす性質が、線形代数の出発点である「ベクトル空間」の公理です。ここを確実に押さえると、後の一次独立・基底・線形変換・行列計算へスムーズに進めます。

ChatGPT5 生成日：2025/09/17