L2距離（ユークリッド距離）

FAISS（Facebook AI Similarity Search）における「距離計量と類似度」の基礎として、**L2距離（ユークリッド距離）**は最も基本的かつ広く使われる距離指標の一つです。以下に詳しく説明します。

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1. L2距離（ユークリッド距離）とは

L2距離（またはユークリッド距離）とは、2つのベクトル間の直線距離（ユークリッド空間での距離）を表す指標です。次の数式で定義されます：

$$\text{L2距離}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sqrt{\sum_{i=1}^{d} (x_i – y_i)^2}$$

ここで：

• $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ は $d$ 次元のベクトル

• $x_i, y_i$ はそれぞれのベクトルの第 $i$ 成分

この距離は、幾何学的に「2点間の直線距離」と一致します。

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2. FAISSにおけるL2距離の使用

FAISSではベクトル同士の類似性の比較を行うために、L2距離を以下のような場面で使用します。

2.1 インデックスの種類とL2距離

FAISSでL2距離が使用される代表的なインデックス：

• IndexFlatL2

• IndexIVFFlat（L2距離指定時）

• IndexHNSWFlat（metric=L2 によって）

2.2 類似ベクトルの検索（search）

FAISSでは検索時に「距離が小さい順に近いベクトルを返す」という形式になります。L2距離が小さいということは、空間上でより近い＝類似度が高いとみなされます。

python
import faiss
import numpy as np

d = 128  # 次元数
index = faiss.IndexFlatL2(d)  # L2距離を使うインデックス
xb = np.random.rand(1000, d).astype('float32')
index.add(xb)  # ベクトルを追加

xq = np.random.rand(5, d).astype('float32')  # クエリベクトル
D, I = index.search(xq, k=3)  # 各クエリについて近いベクトルを3件検索

• D：各検索結果に対するL2距離の配列

• I：検索結果のインデックス番号

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3. 特徴と注意点

3.1 特徴

• L2距離は直感的な類似度測定として理解しやすい

• スケールに敏感で、ベクトルのスケーリングにより結果が変化する

3.2 注意点

• 次元が非常に高い場合（高次元空間）には「次元の呪い」の影響で精度が低下することがある

• 正規化されていないデータに対しては、Cosine類似度の方が適切な場合もある

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4. まとめ