協調フィルタリングと行列分解（推薦システム）

協調フィルタリングと行列分解は、推薦システム（Recommendation System）における中核的な手法であり、特に教師なし学習の文脈で広く用いられています。以下では、それぞれの理論と数学的背景、アルゴリズム、実用上の考慮点を詳しく説明します。

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1. 協調フィルタリング（Collaborative Filtering）

概要

協調フィルタリングは、ユーザーとアイテムの**相互作用データ（例：評価、クリック、購入履歴など）**に基づいて、ユーザーの好みに合うアイテムを推薦する手法です。

種類

1. ユーザーベース協調フィルタリング（User-based CF）

   • 類似するユーザーの行動を参考にして推薦を行う。

   • 例：「あなたと似たユーザーAがこの映画を高評価したので、あなたにも推薦」

2. アイテムベース協調フィルタリング（Item-based CF）

   • 類似するアイテムを元に推薦を行う。

   • 例：「この映画を見た人は、似たジャンルのこの映画も見ている」

ユーザー×アイテム行列

データは通常、次のような疎な行列として表されます：

この行列を使って、評価値が空白の部分を予測することが推薦につながります。

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2. 行列分解（Matrix Factorization）

概要

行列分解は、上記のユーザー×アイテム評価行列を、低次元の潜在特徴空間に分解することで、欠損部分を予測する教師なし学習的アプローチです。

数学的定式化

観測された評価行列 $R \in \mathbb{R}^{m \times n}$ を、

• ユーザーの潜在特徴行列 $U \in \mathbb{R}^{m \times k}$

• アイテムの潜在特徴行列 $V \in \mathbb{R}^{n \times k}$

に分解して、近似します：

$$R \approx U V^T$$

ここで：

• $m$：ユーザー数

• $n$：アイテム数

• $k$：潜在特徴次元（通常 $k \ll m, n$）

学習の目的

目的関数（損失関数）として、以下の正則化付き誤差最小化を行います：

$$\min_{U, V} \sum_{(i,j) \in \mathcal{K}} (R_{ij} – U_i \cdot V_j^T)^2 + \lambda(\|U\|^2 + \|V\|^2)$$

• $\mathcal{K}$：観測された評価のインデックス集合

• $\lambda$：過学習を防ぐための正則化項

学習アルゴリズム

• 確率的勾配降下法（SGD）

• 交互最小二乗法（ALS: Alternating Least Squares）

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3. 協調フィルタリング vs 行列分解

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4. 応用例

• Netflix：視聴履歴に基づく映画推薦（行列分解が中心）

• Amazon：購入履歴に基づく類似商品の推薦（アイテムベースCF）

• Spotify：再生履歴に基づく楽曲推薦

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5. まとめ

協調フィルタリングと行列分解は、教師なし学習における次元削減・潜在特徴抽出の応用であり、大量のユーザー行動データから有用な構造を抽出し、個人化された推薦を実現するための有力な手法です。とくに行列分解は、次元削減（PCA）や潜在意味解析（LSA）に類似した枠組みであり、理論的にも実用的にも重要な位置を占めています。