行列の演算（加算、積、転置、逆行列）

機械学習や強化学習では、大量のデータやその変換・計算を効率的に処理するために**行列（Matrix）**が頻繁に使われます。以下では、行列の基本的な演算「加算、積、転置、逆行列」についてそれぞれ詳しく解説します。

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1. 行列の加算（Matrix Addition）

定義：
同じ形状（行数と列数が等しい）の行列同士でのみ加算が可能です。対応する要素をそれぞれ加える操作です。

式：
A, B が共に m×n 行列なら、

makefile
C = A + B
  = [a_ij + b_ij]  （各要素ごとの加算）

例：

csharp
A = [1 2]
    [3 4]

B = [5 6]
    [7 8]

A + B = [1+5  2+6]
         [3+7  4+8]
       = [6 8]
         [10 12]

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2. 行列の積（Matrix Multiplication）

定義：
A（m×n行列）と B（n×p行列）の積 AB は、m×p 行列となります。Aの各行とBの各列の内積（ドット積）で定義されます。

式：

(AB)_{ij} = Σ (A_{ik} × B_{kj})  （k = 1 ～ n）

例：

csharp
A = [1 2]
    [3 4]   (2×2 行列)

B = [5 6]
    [7 8]   (2×2 行列)

AB = [1×5 + 2×7   1×6 + 2×8]
      [3×5 + 4×7   3×6 + 4×8]
   = [19 22]
     [43 50]

注意点：

• 行列の積は 交換法則が成り立たない（AB ≠ BA）ことがある。

• 機械学習では、重み行列と特徴ベクトルの積として使われる。

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3. 行列の転置（Transpose）

定義：
行列の行と列を入れ替える操作です。行列 A の転置を Aᵗ（または A^T）と書きます。

式：

(Aᵗ)_{ij} = A_{ji}

例：

csharp
A = [1 2 3]
    [4 5 6]

Aᵗ = [1 4]
      [2 5]
      [3 6]

応用：

• 内積や距離計算、勾配の転置などで利用される。

• 転置によって列ベクトルと行ベクトルを変換することができる。

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4. 逆行列（Inverse Matrix）

定義：
行列 A に対して、ある行列 A⁻¹ が存在して、

mathematica
A × A⁻¹ = I （単位行列）

となるとき、A⁻¹ を A の 逆行列と呼びます。ただし、**A が正則（正方行列でかつ行列式 ≠ 0）**である必要があります。

例：

markdown
A = [a b]
    [c d]

A⁻¹ = (1 / (ad - bc)) × [ d  -b]
                                [-c  a]

制約：

• 逆行列が存在しない（= 特異行列）場合もある。

• 高次元行列では、数値的に不安定なことがあるため、実際の機械学習では逆行列を直接求めず、擬似逆行列（Moore-Penrose逆行列）やLU分解、勾配降下法が使われることが多い。

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応用例（機械学習・強化学習において）