行列の加法・乗法・転置

「線形代数」の「基礎編（初歩）」における「行列の加法・乗法・転置」について、順を追って詳しく説明します。

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1. 行列の加法

定義

2つの行列 A と B が加法できるのは、それらの行と列の大きさが等しい場合です。
加法は、対応する成分を単純に足し合わせます。

$$A + B = C \quad \text{ただし } C_{ij} = A_{ij} + B_{ij}$$

例

$$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}$$
$$A + B = \begin{bmatrix}1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 & 8 \\ 10 & 12\end{bmatrix}$$

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2. 行列の乗法

定義

行列の掛け算は、左の行列の列数と右の行列の行数が一致する場合に可能です。
結果の行列のサイズは「左の行列の行数 × 右の行列の列数」になります。

計算式は次の通りです：

$$C = A \times B \quad \text{ただし } C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} \cdot B_{kj}$$

ここで、

• $A$ が $m \times n$ 行列、

• $B$ が $n \times p$ 行列ならば、

• $C$ は $m \times p$ 行列となります。

例

$$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}$$

計算すると：

$$AB = \begin{bmatrix} 1\cdot 5 + 2\cdot 7 & 1\cdot 6 + 2\cdot 8 \\ 3\cdot 5 + 4\cdot 7 & 3\cdot 6 + 4\cdot 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}$$

※行列の積は一般に交換法則が成り立たない（つまり $AB \neq BA$）。

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3. 行列の転置

定義

行列 A の転置を $A^T$ と書きます。転置とは、行と列を入れ替える操作です。

$$(A^T)_{ij} = A_{ji}$$

例

$$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{bmatrix}$$
$$A^T = \begin{bmatrix}1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6\end{bmatrix}$$

性質

• $(A^T)^T = A$

• $(A + B)^T = A^T + B^T$

• $(AB)^T = B^T A^T$

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まとめ

• 加法：同じサイズの行列の要素ごとの足し算。

• 乗法：左の行列の行と右の行列の列を組み合わせて内積をとる。交換法則は成立しない。

• 転置：行と列を入れ替える操作。重要な性質が多く、計算の簡略化や証明に役立つ。